1 #!/usr/bin/python3
3 import numpy as np
5 import mnist
7 # use a constant seed to keep things reproducible
8 rg = np.random.default_rng(1)
10 # transfer functions
12 # https://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function
13 # classic, differentiable, apparently worse for training
14 def sigmoid(x):
15     return 1 / (1 + np.exp(-x))
18 def sigmoid_prime(x):
19     return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))
22 # https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks)
23 # mostly preferred these days, not differentiable at 0, but slope can be defined arbitrarily as 0 or 1 at 0
24 def reLU(x):
25     return np.maximum(x, 0)
28 def reLU_prime(x):
29     return np.heaviside(x, 1)
32 train_images, train_labels, rows, cols = mnist.load('train-images-idx3-ubyte', 'train-labels-idx1-ubyte')
33 test_images, test_labels, rows2, cols2 = mnist.load('t10k-images-idx3-ubyte', 't10k-labels-idx1-ubyte')
34 assert rows == rows2
35 assert cols == cols2
37 # neural network structure: two hidden layers, one output layer
38 SIZES = (rows * cols, 20, 16, 10)
39 NUM_LAYERS = len(SIZES)
41 # initialize weight matrices and bias vectors with random numbers
42 weights = []
43 biases = []
44 for i in range(1, NUM_LAYERS):
45     weights.append(rg.normal(size=(SIZES[i], SIZES[i-1])))
46     biases.append(rg.normal(scale=10, size=SIZES[i]))
49 def feed_forward(x, transfer=sigmoid):
50     '''Compute all z and output vectors for given input vector'''
52     a_s = [x]
53     z_s = []
54     for w, b in zip(weights, biases):
55         x = w @ x + b
56         z_s.append(x)
57         a_s.append(transfer(x))
58     return (z_s, a_s)
61 def classify(y):
62     # the recognized digit is the index of the highest-valued output neuron
63     return np.argmax(y), np.max(y)
66 def cost_grad(x, target_y, transfer=sigmoid, transfer_prime=sigmoid_prime):
67     '''Return (∂C/∂w, ∂C/∂b) for a particular input and desired output vector'''
69     # forward pass, remember all z vectors and activations for every layer
70     z_s, a_s = feed_forward(x, transfer)
72     # backward pass
73     deltas = [None] * len(weights)  # delta = dC/dz error for each layer
74     # insert the last layer error
75     deltas[-1] = transfer_prime(z_s[-1]) * 2 * (a_s[-1] - target_y)
76     for i in reversed(range(len(deltas) - 1)):
77         deltas[i] = (weights[i + 1].T @ deltas[i + 1]) * transfer_prime(z_s[i])
79     dw = [d @ a_s[i+1] for i, d in enumerate(deltas)]
80     db = deltas
81     return dw, db
84 def label_vector(label):
85     x = np.zeros(10)
86     x[label] = 1.0
87     return x
90 def backpropagate(image_batch, label_batch, eta):
91     '''Update NN with gradient descent and backpropagation to a batch of inputs
93     eta is the learning rate.
94     '''
95     global weights, biases
97     num_images = image_batch.shape
98     for i in range(num_images):
99         y = label_vector(label_batch[i])
100         dws, dbs = cost_grad(image_batch[:, i], y)
101         weights = [w + eta * dw for w, dw in zip(weights, dws)]
102         biases = [b + eta * db for b, db in zip(biases, dbs)]
105 def train(images, labels, eta, batch_size=100):
106     '''Do backpropagation for smaller batches
108     This greatly speeds up the learning process, at the expense of finding a more erratic path to the local minimum.
109     '''
110     num_images = images.shape
111     offset = 0
112     while offset < num_images:
113         images_batch = images[:, offset:offset + batch_size]
114         labels_batch = labels[offset:offset + batch_size]
115         backpropagate(images_batch, labels_batch, eta)
116         offset += batch_size
119 def test():
120     """Count percentage of test inputs which are being recognized correctly"""
122     good = 0
123     num_images = test_images.shape
124     for i in range(num_images):
125         # the recognized digit is the index of the highest-valued output neuron
126         y = classify(feed_forward(test_images[:, i])[-1])
127         good += int(y == test_labels[i])
128     return 100 * (good / num_images)
131 res = feed_forward(test_images[:, 0])
132 print(f'output vector of first image: {res[-1]}')
133 digit, conf = classify(res[-1])
134 print(f'classification of first image: {digit} with confidence {conf}; real label {test_labels}')
135 print(f'correctly recognized images after initialization: {test()}%')
137 for i in range(1):
138     print(f"round #{i} of learning...")
139     train(test_images, test_labels, 1)
141 print(f'correctly recognized images: {test()}%')